Hinter den Kulissen von Dijkstras Algorithmus: Funktionsweise und detaillierte Beispielsanalyse

Einführung in das Problem des kürzesten Weges

Das Kürzeste-Wege-Problem ist ein klassisches Problem der Graphentheorie, bei dem es darum geht, den kürzesten Weg zwischen zwei Eckpunkten eines gewichteten Graphen zu finden. Ein Graph ist eine mathematische Struktur, die aus Knoten (oder Eckpunkten) besteht, die durch Kanten (oder Links) verbunden sind. Graphen können gerichtet sein oder nicht, je nachdem, ob die Kanten eine Richtung haben oder nicht. In einem gewichteten Diagramm hat jede Kante einen Wert, der Gewichtung genannt wird und normalerweise die mit dieser Verbindung verbundene Entfernung oder Kosten darstellt.

Dijkstras Algorithmus

Der 1956 von Edsger W. Dijkstra erfundene Dijkstra-Algorithmus ist eine der bekanntesten Lösungen für dieses Problem. Dies ist ein gieriger Algorithmus, der nach und nach einen Untergraphen erstellt, der die Mindestabstände von einem Quellscheitelpunkt zu allen anderen Scheitelpunkten im Diagramm enthält.

Um zu verstehen, wie dieser Algorithmus funktioniert, verwenden wir ein konkretes Beispiel, bei dem Städte als Knoten und Straßenentfernungen als Gewichte verwendet werden.

Praxisbeispiel: Straßennetz zwischen Städten

Stellen wir uns vor, wir hätten das folgende Straßennetz:

• Stadt A: Ausgangspunkt
• Stadt B: Entfernung 10 km von A
• Stadt C: Entfernung 20 km von A, 5 km von B
• Stadt D: Entfernung 30 km von A, 15 km von B, 10 km von C

Schritte des Dijkstra-Algorithmus

Der Dijkstra-Algorithmus folgt den folgenden Schritten:

1. Initialisierung: Jedem Scheitelpunkt wird ein vorläufiger Wert zugewiesen, der dem Abstand zwischen diesem Scheitelpunkt und dem Ursprungspunkt entspricht. Für den Ursprungspunkt ist dieser Wert Null. Für alle anderen Eckpunkte ist es unendlich.
2. Auswahl des nicht besuchten Knotens mit dem kleinsten vorläufigen Wert (wir wählen zunächst den Ursprungspunkt).
3. Für jeden Nachbarn des ausgewählten Knotens:
   1. Berechnen Sie die neue Distanz, die durch den ausgewählten Knoten verläuft.
   2. Aktualisieren Sie den vorläufigen Wert, wenn dieser neue Abstand kleiner als der alte ist.
4. Markieren Sie den ausgewählten Knoten als besucht.
5. Wiederholen Sie die Schritte 2 bis 4, bis alle Knoten besucht sind oder das gewünschte Ziel erreicht ist.

Veranschaulichung der Schritte anhand unseres konkreten Beispiels

In unserem Beispiel suchen wir nach dem kürzesten Weg zwischen Stadt A (Ursprungspunkt) und Stadt D (Ziel). So funktioniert der Dijkstra-Algorithmus:

Schritt 1: Initialisierung